کلیه متغیر های مدل ۲ و ۳ نیز مثل مدل ۱ تعریف می شود.

۲-۷-۳ مدل ثانویه^[۴۶] ( پوششی ) CCR ورودی محور

چارنز، کوپر و رودز دریافتند که اگر تعداد واحدهای مورد بررسی نسبت به تعداد ورودی­ ها و خروجی ها مناسب نباشد، در عمل کارایی تعداد زیادی از واحدها ۱۰۰% خواهد شد و روی مرز کارا قرار
می­ گیرند. لذا برای افزایش قدرت تفکیک پذیری مدل، رابطه تجربی زیر پیشنهاد شد (مهرگان،۱۳۸۷) :

(مجموع تعداد ورودی ها و خروجی ها) ۳ تعداد واحدهای مورد بررسی

علاوه بر رابطه فوق، کوپر و همکارانش گفته اند اگر n تعداد واحدهای تصمیم گیری،m تعداد ورودی ها و s تعداد خروجی ها باشد در آنصورت رعایت رابطه زیر توصیه می شود: (Cooper,2011)

از آنجا که هر واحد مورد بررسی یک محدودیت به مدل فوق اضافه می­ کند، عملا تعداد محدودیت­ها بیشتر از تعداد متغیرها است و حل مسأله ثانویه این مدل که به مدل پوششی یا ثانویه CCR مشهور است، از نظر پیچیدگی محاسبات، مناسب تر خواهد بود. لذا اگر متغیر متناظر با محدودیت اول در مدل ۲ با Ѳ و متغیر های متناظر با سایر محدودیت ها با نشان داده شود، ثانویه مدل ۲

می شود:

Min y₀ = Ѳ

i= 1,2,…,m

r=1,2,…,s

مدل۴ – مدل پوششی یا ثانویه CCR ورودی محور

در مدل فوق y₀ واحد تحت بررسی و سایر متغیر ها مشابه مدل شماره ۱ تعریف می شود.

با توجه به توضیحاتی که برای اصلاح مدل مضربی ‍‍‍‍CCR ورودی محور گفته شد، مدل فوق نیز به صورت زیر اصلاح گردید (Banker,Charnes,cooper,1984):

Min y₀ = Ѳ – ϵ (

s.t: r=1,2,…,s

i= 1,2,…,m

مدل۵ – مدل پوششی یا ثانویه CCR اصلاح شده ورودی محور

در مدل فوق مازاد متغیر کمکی کمبود در میزان ستاده تولید برای ستاده مشخص شدهr را نشان می‌دهد و متغیر کمکی دیگری است که ورودی i استفاده شده از آن را بیان می‌دارد. سایر متغیر ها نیز مشابه مدل قبل تعریف می شود.

یک واحد تصمیم گیرنده در مدل فوق وقتی کاراست که :

اولاً= ۱ و ثانیاًً باشد (مهرگان،۱۳۸۷) .

۲-۷-۴ مدل نسبت CCR خروجی محور

بر اساس آنچه در خصوص تفاوت مدل های ورودی محور و خروجی محور گفته شد، می توان مدل شماره ۱ را به شرح زیر به صورت یک مدل خروجی محور نوشت (Charnes,Cooper,Rhodes,1978) :

Min f₀ =

S.t. ≥ ۱ j=1,2,…,n , u_r,v_i≥۰

مدل۶- مدل نسبت CCR خروجی محور

f₀ واحد تحت بررسی و کلیه متغیر ها مشابه مدل شماره ۱ تعریف می شود.

۲-۷-۵ مدل اولیه ( مضربی ) CCR خروجی محور

مدل شماره ۲ را با فرض خروجی محور می توان به صورت زیر نوشت (Charnes,Cooper,Rhodes,1978) :

Min g₀ =

S.t.

u_r,v_i≥۰ , j=1,2,…,n

مدل ۷- مدل مضربی CCR خروجی محور

g₀ واحد تحت بررسی و کلیه متغیر ها مشابه مدل شماره ۱ تعریف می شود

برای پرهیز از صفر شدن متغیرهای تصمیم و جلوگیری از حذف تاثیر واحدی از واحدهای تصمیم گیری در مقدار کارایی، مدل فوق به شرح زیر اصلاح می شود:

Min g₀ =

S.t

u_r,v_i≥ϵ , j=1,2,…,n

ϵ مقدار کوچک بزرگتر از صفر است.

مدل ۸- مدل مضربی CCR اصلاح شده خروجی محور

۲-۷-۶ مدل ثانویه ( پوششی ) CCR خروجی محور

مدل شماره ۷ را می توان با فرض خروجی محور و اینکه متغیر متناظر با محدودیت اول با Ѳ و متغیر های متناظر با سایر محدودیت ها با نشان داده شود، به صورت زیر تغییر داد (Charnes,Cooper,Rhodes,1978) :

Max y₀ = Ѳ

s.t: r=1,2,…,s

i= 1,2,…,m

مدل ۹- مدل پوششی CCR خروجی محور

برای پرهیز از صفر شدن متغیرهای تصمیم و جلوگیری از حذف تاثیر واحدی از واحدهای تصمیم گیری در مقدار کارایی، مدل فوق به شرح زیر اصلاح می شود:

Max y₀ = Ѳ – ϵ (

s.t: r=1,2,…,s

i= 1,2,…,m

مدل ۱۰- مدل پوششی CCR اصلاح شده خروجی محور

در مدل شماره ۹ و ۱۰ نیز y₀ به عنوان واحد تحت بررسی، مازاد متغیر کمکی کمبود در میزان ستاده تولید برای ستاده مشخص شدهr و متغیر کمکی دیگری است که ورودی i استفاده شده از آن را بیان می‌دارد. سایر متغیر ها نیز مشابه مدل قبل تعریف می شود.

۲-۷-۷ مدل نسبت BCC ورودی محور

یکی از مشکلات روش CCR فرض بازده به مقیاس ثابت است. همان‌ طور که در بخش ۲-۶-۲ گفته شد، منظور از بازده به مقیاس ثابت این است که خروجی­های یک واحد تولیدی متناسب با ورودی­ ها تغییر کند. به عبارت دیگر، برابر شدن تمام ورودی­ ها به برابر شدن خروجی بیانجامد. این فرض در برخی شرایط قابل قبول است اما گاهی هم باید بازده به مقیاس را متغیر در نظر گرفت. یعنی با برابر شدن تمام ورودی­ ها، خروجی کمتر یا بیشتر از برابر گردد. مدل BCC (Banker,1984) برای رفع این مشکل ارائه شده است. در این مدل، مرز کارا توسعه یافته و اگر واحدی در مدل BCC روی مرز کارا باشد، لزوماً در مدل CCR کارا نیست. اما اگر واحدی در مدل CCR کارا باشد، آنگاه حتما از نظر BCC نیز کارا خواهد بود.

بنکر^[۴۷]، چارنز و کوپر این مدل را که از حروف اول نامشان تشکیل شده با فرض بازده به مقیاس متغیر به صورت زیر ارائه کردند:

Max Z₀ =

Subject to:

≤ ۱ j=1,2,…,n , u_r,v_i≥۰

u₀ free in sign

مدل۱۱- مدل نسبت BCC ورودی محور

در مدل فوق کلیه متغیر ها مثل مدل شماره ۲ تعریف می شود. در این مدل اگر:

u₀ < 0 باشد↔ نوع بازده به مقیاس، افزایشی است.

u₀ = ۰ باشد↔ نوع بازده به مقیاس، ثابت است.

u₀ > 0 باشد↔ نوع بازده به مقیاس، کاهشی است.

۲-۷-۸ مدل اولیه ( مضربی ) BCC ورودی محور

مدل فوق را می توان با انجام عملیات ریاضی به یک مدل برنامه ریزی خطی به صورت زیر تغییر داد (Banker,Charnes,cooper,1984):

Max Z₀ =

j=1,2,…,n , u_r,v_i≥۰

u₀ free in sign

مدل۱۲- مدل مضربی BCC ورودی محور

با استدلالی که در موارد مشابه آمد، این مدل در همان مرجع به صورت زیر اصلاح شده است:

Max Z₀ =

u₀ , j=1,2,…,n , u_r,v_i≥ϵ آزاد در علامت

ϵ مقدار کوچک بزرگتر از صفر است.

مدل۱۳- مدل مضربی BCC اصلاح شده ورودی محور

در مدل ۱۲و۱۳ کلیه متغیر ها مشابه مدل ۱۱ بوده و علامت u₀ وضعیت بازده به مقیاس را تعیین می‌کند.

۲-۷-۹ مدل ثانویه ( پوششی ) BCC ورودی محور

در مدل شماره ۱۲ می توان متغیر Ѳرا متناظر با محدودیت اول و را متناظر با محدودیت دوم در نظر گرفت و ثانویه آن را به صورت زیر نوشت:

Min y₀ = Ѳ

i= 1,2,…,m

r=1,2,…,s

, Ѳ free in sign

مدل۱۴ – مدل پوششی یا ثانویه BCC ورودی محور

در مدل فوق y₀ واحد تحت بررسی و سایر متغیر ها مشابه مدل شماره ۱۲ تعریف می شود. ضمناً محدودیت متناظر با متغیر آزاد در علامت u₀ است.

Min y₀ = Ѳ – ϵ (

s.t: r=1,2,…,s